Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - 3 x^{2} + 15 x + 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 3 x^{2} + 15 x + 1$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$b = 15$

$c = 1$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{15}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $- 3$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$d = \frac{3 (5)}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $2 \cdot - 3$ heraus.

$d = \frac{3 (5)}{3 (2 \cdot - 1)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 (2 \cdot - 1)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$d = \frac{5}{- 2}$

Schritt 1.1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{5}{2}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{15^{2}}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$e = 1 - \frac{225}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$e = 1 - \frac{225}{- 12}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $225$ und $- 12$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $225$ heraus.

$e = 1 - \frac{3 (75)}{- 12}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$e = 1 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 1 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 1 - \frac{75}{- 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 1 - - \frac{75}{4}$

Schritt 1.1.4.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{75}{4}$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 1 + 1 (\frac{75}{4})$

Schritt 1.1.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{75}{4}$ mit $1$ .

$e = 1 + \frac{75}{4}$

Schritt 1.1.4.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Schritt 1.1.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{4 + 75}{4}$

Schritt 1.1.4.2.4

Addiere $4$ und $75$ .

$e = \frac{79}{4}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 3 {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{79}{4}$ ein.

$- 3 {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{79}{4}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 3 {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{79}{4}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$h = \frac{5}{2}$

$k = \frac{79}{4}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{5}{2}, \frac{79}{4})$

Schritt 4