Elementarmathematik Beispiele

$11 x^{3} - x^{2} + 11 x - 1$

Schritt 1

Setze $11 x^{3} - x^{2} + 11 x - 1$ gleich $0$ .

$11 x^{3} - x^{2} + 11 x - 1 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(11 x^{3} - x^{2}) + 11 x - 1 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (11 x - 1) + 1 (11 x - 1) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $11 x - 1$ .

$(11 x - 1) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$11 x - 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $11 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $11 x - 1$ gleich $0$ .

$11 x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $11 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$11 x = 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $11 x = 1$ durch $11$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $11 x = 1$ durch $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{11}$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.4.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(11 x - 1) (x^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{11}, i, - i$

Schritt 3