Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} + 4 x^{2}$

Schritt 1

Setze $x^{4} + 4 x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{4} + 4 x^{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} + 4 u = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} + 4 u$ heraus.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u + 4 u = 0$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $u$ aus $4 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot 4 = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot 4$ heraus.

$u (u + 4) = 0$

Schritt 2.1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 4$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 2.4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 2.4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 2.4.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.4.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 2.4.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 2.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 2.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 2.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x^{2} + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2 i, - 2 i$

Schritt 3