Elementarmathematik Beispiele

$n^{3} - 3 n^{2} - n + 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(n^{3} - 3 n^{2}) - n + 3 = 0$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$n^{2} (n - 3) - (n - 3) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $n - 3$ .

$(n - 3) (n^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(n - 3) (n^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = n$ und $b = 1$ .

$(n - 3) ((n + 1) (n - 1)) = 0$

Schritt 1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(n - 3) (n + 1) (n - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$n - 3 = 0$

$n + 1 = 0$

$n - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $n - 3$ gleich $0$ und löse nach $n$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $n - 3$ gleich $0$ .

$n - 3 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n = 3$

Schritt 4

Setze $n + 1$ gleich $0$ und löse nach $n$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $n + 1$ gleich $0$ .

$n + 1 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n = - 1$

Schritt 5

Setze $n - 1$ gleich $0$ und löse nach $n$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $n - 1$ gleich $0$ .

$n - 1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n = 1$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(n - 3) (n + 1) (n - 1) = 0$ wahr machen.

$n = 3, - 1, 1$