Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (y - 7) = 3 + \log_{2} (3 y + 1)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{2} (y - 7) - \log_{2} (3 y + 1) = 3$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{y - 7}{3 y + 1}) = 3$

Schritt 3

Schreibe $\log_{2} (\frac{y - 7}{3 y + 1}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{y - 7}{3 y + 1}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$y - 7 = 2^{3} (3 y + 1)$

Schritt 5

Vereinfache $2^{3} (3 y + 1)$ .

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Schritt 5.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y - 7 = 8 (3 y + 1)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 7 = 8 (3 y) + 8 \cdot 1$

Schritt 5.3

Multipliziere.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$y - 7 = 24 y + 8 \cdot 1$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$y - 7 = 24 y + 8$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $24 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 7 - 24 y = 8$

Schritt 6.2

Subtrahiere $24 y$ von $y$ .

$- 23 y - 7 = 8$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 23 y = 8 + 7$

Schritt 7.2

Addiere $8$ und $7$ .

$- 23 y = 15$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $- 23 y = 15$ durch $- 23$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $- 23 y = 15$ durch $- 23$ .

$\frac{- 23 y}{- 23} = \frac{15}{- 23}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 23$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 23 y}{- 23} = \frac{15}{- 23}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{15}{- 23}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{15}{23}$

Schritt 9

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (y - 7) = 3 + \log_{2} (3 y + 1)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$