Elementarmathematik Beispiele

$16 y^{2} - x^{2} + 2 x + 64 y + 63 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 16$ , $b = 64$ und $c = - x^{2} + 2 x + 63$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 64 \pm \sqrt{64^{2} - 4 \cdot (16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $64$ mit $2$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.4.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $63$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.5

Subtrahiere $4032$ von $4096$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.6

Schreibe $64 x^{2} - 128 x + 64$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.3.1.6.1

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2} - 128 x + 64$ heraus.

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Schritt 1.3.1.6.1.1

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.6.1.2

Faktorisiere $64$ aus $- 128 x$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.6.1.3

Faktorisiere $64$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.6.1.4

Faktorisiere $64$ aus $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.6.1.5

Faktorisiere $64$ aus $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.6.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.3.1.6.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.6.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.3.1.6.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.6.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.7

Schreibe $64 {(x - 1)}^{2}$ als ${(8 (x - 1))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.10

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $64$ mit $2$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.4.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $63$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.5

Subtrahiere $4032$ von $4096$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.6

Schreibe $64 x^{2} - 128 x + 64$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.4.1.6.1

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2} - 128 x + 64$ heraus.

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Schritt 1.4.1.6.1.1

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.6.1.2

Faktorisiere $64$ aus $- 128 x$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.6.1.3

Faktorisiere $64$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.6.1.4

Faktorisiere $64$ aus $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.6.1.5

Faktorisiere $64$ aus $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.6.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.4.1.6.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.6.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.4.1.6.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.6.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.7

Schreibe $64 {(x - 1)}^{2}$ als ${(8 (x - 1))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.10

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

Schritt 1.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 64 + 8 x - 8}{32}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 64 + 8 x - 8$ und $32$ .

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Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $8$ aus $- 64$ heraus.

$y = \frac{8 (- 8) + 8 x - 8}{32}$

Schritt 1.4.4.2

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{8 (- 8) + 8 (x) - 8}{32}$

Schritt 1.4.4.3

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$y = \frac{8 \cdot - 8 + 8 (x) + 8 \cdot - 1}{32}$

Schritt 1.4.4.4

Faktorisiere $8$ aus $8 (x) + 8 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{8 (- 8) + 8 (x - 1)}{32}$

Schritt 1.4.4.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 8) + 8 (x - 1)$ heraus.

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{32}$

Schritt 1.4.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.4.6.1

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{8 \cdot 4}$

Schritt 1.4.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{8 \cdot 4}$

Schritt 1.4.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 8 + x - 1}{4}$

Schritt 1.4.5

Subtrahiere $1$ von $- 8$ .

$y = \frac{x - 9}{4}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $64$ mit $2$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.4.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $63$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.5

Subtrahiere $4032$ von $4096$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.6

Schreibe $64 x^{2} - 128 x + 64$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2} - 128 x + 64$ heraus.

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Schritt 1.5.1.6.1.1

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.6.1.2

Faktorisiere $64$ aus $- 128 x$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.6.1.3

Faktorisiere $64$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.6.1.4

Faktorisiere $64$ aus $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.6.1.5

Faktorisiere $64$ aus $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ heraus.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.6.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.5.1.6.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.6.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.5.1.6.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.6.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.7

Schreibe $64 {(x - 1)}^{2}$ als ${(8 (x - 1))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.10

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

Schritt 1.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 64 - (8 x - 8)}{32}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 64 - (8 x - 8)$ und $32$ .

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Schritt 1.5.4.1

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 64 - (8 x - 8)}{32}$

Schritt 1.5.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (64) - (8 x - 8)$ heraus.

$y = \frac{- 1 (64 + 8 x - 8)}{32}$

Schritt 1.5.4.3

Faktorisiere $8$ aus $- 1 (64 + 8 x - 8)$ heraus.

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{32}$

Schritt 1.5.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.4.4.1

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{8 (4)}$

Schritt 1.5.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{8 \cdot 4}$

Schritt 1.5.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1 (8 + x - 1)}{4}$

Schritt 1.5.5

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$y = \frac{- 1 (x + 7)}{4}$

Schritt 1.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{x - 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

$y = \frac{x - 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{x - 9}{4}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Schritt 5

Zerlege den Bruch $\frac{x + 7}{4}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{x}{4} - \frac{7}{4}$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{9}{4}$

$y = - (\frac{1}{4} x) - \frac{7}{4}$

Schritt 8

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{1}{4} x - \frac{7}{4}$

Schritt 9