Elementarmathematik Beispiele

$- 9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x - 16 y - 164 = 0$

Schritt 1

Addiere $164$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x - 16 y = 164$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 9 x^{2} - 36 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 36}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (- 9)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 18}{- 9}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $- 9$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 18$ heraus.

$d = \frac{- 9 (2)}{- 9}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9$ heraus.

$d = \frac{- 9 \cdot 2}{- 9 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 9 \cdot 2}{- 9 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot - 9}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{- 36}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $1296$ durch $- 36$ .

$e = 0 - - 36$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $0$ und $36$ .

$e = 36$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 9 {(x + 2)}^{2} + 36$ ein.

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 36$

Schritt 3

Setze $- 9 {(x + 2)}^{2} + 36$ für $- 9 x^{2} - 36 x$ ein in der Gleichung $- 9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x - 16 y = 164$ .

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 36 + 4 y^{2} - 16 y = 164$

Schritt 4

Bringe $36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 16 y = 164 - 36$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 y^{2} - 16 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 8}{4}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 5.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $256$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 0 - 16$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$e = - 16$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(y - 2)}^{2} - 16$ ein.

$4 {(y - 2)}^{2} - 16$

Schritt 6

Setze $4 {(y - 2)}^{2} - 16$ für $4 y^{2} - 16 y$ ein in der Gleichung $- 9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x - 16 y = 164$ .

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} - 16 = 164 - 36$

Schritt 7

Bringe $- 16$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $16$ auf beiden Seiten.

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 164 - 36 + 16$

Schritt 8

Vereinfache $164 - 36 + 16$ .

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Schritt 8.1

Subtrahiere $36$ von $164$ .

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 128 + 16$

Schritt 8.2

Addiere $128$ und $16$ .

$- 9 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 144$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $144$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$- \frac{9 {(x + 2)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y - 2)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{36} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{16} = 1$