Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 12 y - x^{2} - 2 x + 31 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $31$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 12 y - x^{2} - 2 x = - 31$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 12 y$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{1}$

Schritt 2.3.2.2.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$d = - 6$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$e = 0 - 36$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$e = - 36$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 6)}^{2} - 36$ ein.

${(y - 6)}^{2} - 36$

Schritt 3

Setze ${(y - 6)}^{2} - 36$ für $y^{2} - 12 y$ ein in der Gleichung $y^{2} - 12 y - x^{2} - 2 x = - 31$ .

${(y - 6)}^{2} - 36 - x^{2} - 2 x = - 31$

Schritt 4

Bringe $- 36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

${(y - 6)}^{2} - x^{2} - 2 x = - 31 + 36$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} - 2 x$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 1$ als $- - 1$ um.

$d = - - 1$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$d = 1$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$e = 1$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + 1)}^{2} + 1$ ein.

$- {(x + 1)}^{2} + 1$

Schritt 6

Setze $- {(x + 1)}^{2} + 1$ für $- x^{2} - 2 x$ ein in der Gleichung $y^{2} - 12 y - x^{2} - 2 x = - 31$ .

${(y - 6)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + 1 = - 31 + 36$

Schritt 7

Bringe $1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(y - 6)}^{2} - {(x + 1)}^{2} = - 31 + 36 - 1$

Schritt 8

Vereinfache $- 31 + 36 - 1$ .

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Schritt 8.1

Addiere $- 31$ und $36$ .

${(y - 6)}^{2} - {(x + 1)}^{2} = 5 - 1$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

${(y - 6)}^{2} - {(x + 1)}^{2} = 4$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $4$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{{(y - 6)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - 6)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = 1$