Elementarmathematik Beispiele

$(x + 6) (x^{2} + 16) (1 - x) \leq 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

$x^{2} + 16 = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 2

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 3

Setze $x^{2} + 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{2} + 16$ gleich $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{2} + 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 16$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Schritt 3.2.3.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Schritt 3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 4$

Schritt 3.2.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 4 i$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 i$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 i$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 i, - 4 i$

Schritt 4

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 4.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 6) (x^{2} + 16) (1 - x) \leq 0$ wahr machen.

$x = - 6, 4 i, - 4 i, 1$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 8) + 6) ({(- 8)}^{2} + 16) (1 - (- 8)) \leq 0$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $- 1440$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 6) ({(0)}^{2} + 16) (1 - (0)) \leq 0$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $96$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((4) + 6) ({(4)}^{2} + 16) (1 - (4)) \leq 0$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $- 960$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 6$ oder $x \geq 1$

Schritt 9

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 6] \cup [1, \infty)$

Schritt 10