Elementarmathematik Beispiele

$y = 3 - 4 x$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 3 - 4 y$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $3 - 4 y = x$ um.

$3 - 4 y = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = x - 3$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = x - 3$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = x - 3$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 2.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 - 4 x$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 - 4 x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 - 4 x) = - \frac{3 - 4 x}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{- (3 - 4 x) + 3}{4}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 4 x) + 3}{4}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{- 3 - (- 4 x) + 3}{4}$

Schritt 4.2.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{- 3 + 4 x + 3}{4}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 + 4 x + 3$ .

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Schritt 4.2.5.1.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 4.2.5.1.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 - 4 x) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 - 4 (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 - 4 (- \frac{x}{4}) - 4 (\frac{3}{4})$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 - 4 \frac{- x}{4} - 4 (\frac{3}{4})$

Schritt 4.3.3.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + 4 (- 1) (\frac{- x}{4}) - 4 (\frac{3}{4})$

Schritt 4.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + 4 \cdot (- 1 \frac{- x}{4}) - 4 (\frac{3}{4})$

Schritt 4.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 - 1 (- x) - 4 (\frac{3}{4})$

Schritt 4.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + 1 x - 4 (\frac{3}{4})$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x - 4 (\frac{3}{4})$

Schritt 4.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x + 4 (- 1) (\frac{3}{4})$

Schritt 4.3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x + 4 \cdot (- 1 (\frac{3}{4}))$

Schritt 4.3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x - 1 \cdot 3$

Schritt 4.3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x - 3$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 + x - 3$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 - 4 x$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$