Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x \leq 27$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x = 27$

Schritt 2

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 27 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} + 3 x^{2}) - 9 x - 27 = 0$

Schritt 3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x + 3) - 9 (x + 3) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 3.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x + 3) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x + 3) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 3.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.5.1

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 3.5.2

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 3.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Schritt 3.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x + 3)}^{2} (x - 3) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 5

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse ${(x + 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 3)}^{2} (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 6)}^{3} + 3 {(- 6)}^{2} - 9 \cdot - 6 \leq 27$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 54$ ist kleiner als die rechte Seite $27$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 \leq 27$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $27$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{3} + 3 {(6)}^{2} - 9 \cdot 6 \leq 27$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $270$ ist größer als die rechte Seite $27$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 3$ oder $- 3 \leq x \leq 3$

Schritt 11

Vereine die Intervalle.

$x \leq 3$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, 3]$

Schritt 13