Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 12} < 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} - 9 = 0$

$x^{2} + x - 12 = 0$

Schritt 2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 9$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 6

Faktorisiere $x^{2} + x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 8

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 9

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 4$

Schritt 11

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 3, - 3$

$x = 3, - 4$

Schritt 12

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 3, - 3, 3, - 4$

Schritt 13

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 12}$ .

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Schritt 13.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 12}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + x - 12 = 0$

Schritt 13.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 13.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 13.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Schritt 13.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 13.2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 13.2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 13.2.4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 13.2.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 13.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 4$

Schritt 13.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 14

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 15

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 15.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 15.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 9}{{(- 6)}^{2} - 6 - 12} < 0$

Schritt 15.1.3

Die linke Seite $1.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 15.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3.5$

Schritt 15.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 3.5)}^{2} - 9}{{(- 3.5)}^{2} - 3.5 - 12} < 0$

Schritt 15.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 15.3

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 15.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} - 9}{{(0)}^{2} + 0 - 12} < 0$

Schritt 15.3.3

Die linke Seite $0.75$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 15.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 15.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(6)}^{2} - 9}{{(6)}^{2} + 6 - 12} < 0$

Schritt 15.4.3

Die linke Seite $0.9$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 15.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Falsch

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Falsch

Schritt 16

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 < x < - 3$

Schritt 17

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 4, - 3)$

Schritt 18