Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{5}{x}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{5}{x + h}$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{x + h}$ .

$\frac{5}{x + h}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{5}{x + h}$

$f (x) = \frac{5}{x}$

$f (x + h) = \frac{5}{x + h}$

$f (x) = \frac{5}{x}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{5}{x + h} - (\frac{5}{x})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{5}{x + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{5}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{5}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{5}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{x + h}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{5 x}{(x + h) x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{x}$ mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{5 x}{(x + h) x} - \frac{5 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + h) x$ um.

$\frac{\frac{5 x}{x (x + h)} - \frac{5 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{5 x - 5 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{5 x - 5 (x + h)}{x (x + h)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x - 5 (x + h)$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{\frac{5 (x) - 5 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 (x + h)$ heraus.

$\frac{\frac{5 (x) + 5 (- (x + h))}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (- (x + h))$ heraus.

$\frac{\frac{5 (x - (x + h))}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{5 (x - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{\frac{5 (0 - h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Subtrahiere $h$ von $0$ .

$\frac{\frac{5 \cdot - 1 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1.5.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{\frac{- (5 h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- 5 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{5 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{5 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 h}{x (x + h)}$ in den Zähler.

$\frac{- 5 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 5 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 5}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 5}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5}{x (x + h)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{x (x + h)}$

Schritt 5