Elementarmathematik Beispiele

$4 {(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} = 16$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$4 {(x - 3)}^{2} + 4 {(0)}^{2} = 16$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $4 {(0)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 {(x - 3)}^{2} = 16 - 4 {(0)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $16 - 4 {(0)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 {(x - 3)}^{2} = 16 - 4 \cdot 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$4 {(x - 3)}^{2} = 16 + 0$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $16$ und $0$ .

$4 {(x - 3)}^{2} = 16$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 {(x - 3)}^{2} = 16$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 {(x - 3)}^{2} = 16$ durch $4$ .

$\frac{4 {(x - 3)}^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 {(x - 3)}^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere ${(x - 3)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{16}{4}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $16$ durch $4$ .

${(x - 3)}^{2} = 4$

Schritt 1.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x - 3 = \pm \sqrt{4}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - 3 = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - 3 = \pm 2$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 3 = 2$

Schritt 1.2.6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 + 3$

Schritt 1.2.6.2.2

Addiere $2$ und $3$ .

$x = 5$

Schritt 1.2.6.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 3 = - 2$

Schritt 1.2.6.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.4.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 + 3$

Schritt 1.2.6.4.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$x = 1$

Schritt 1.2.6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(5, 0), (1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$4 {((0) - 3)}^{2} + 4 y^{2} = 16$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $4 {((0) - 3)}^{2} + 4 y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$4 {(- 3)}^{2} + 4 y^{2} = 16$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$4 \cdot 9 + 4 y^{2} = 16$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$36 + 4 y^{2} = 16$

Schritt 2.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} = 16 - 36$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $36$ von $16$ .

$4 y^{2} = - 20$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} = - 20$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} = - 20$ durch $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- 20}{4}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- 20}{4}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 20}{4}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Dividiere $- 20$ durch $4$ .

$y^{2} = - 5$

Schritt 2.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 5}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Schritt 2.2.5.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \pm i \sqrt{5}$

Schritt 2.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = i \sqrt{5}$

Schritt 2.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - i \sqrt{5}$

Schritt 2.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Schritt 2.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(5, 0), (1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 4