Elementarmathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 5 & - 2 \\ 7 & 4 & 1 \\ - 3 & 1 & 6 \end{array}]$

Schritt 1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$1 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 5 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$1 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 6 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 6 \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (4 \cdot 6 - 1 \cdot 1) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$1 (24 - 1 \cdot 1) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 (24 - 1) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $1$ von $24$ .

$1 \cdot 23 - 5 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 23 - 5 (7 \cdot 6 - (- 3 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$1 \cdot 23 - 5 (42 - (- 3 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot 1)$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 \cdot 23 - 5 (42 - - 3) - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$1 \cdot 23 - 5 (42 + 3) - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Addiere $42$ und $3$ .

$1 \cdot 23 - 5 \cdot 45 - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 23 - 5 \cdot 45 - 2 (7 \cdot 1 - (- 3 \cdot 4))$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$1 \cdot 23 - 5 \cdot 45 - 2 (7 - (- 3 \cdot 4))$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot 4)$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$1 \cdot 23 - 5 \cdot 45 - 2 (7 - - 12)$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$1 \cdot 23 - 5 \cdot 45 - 2 (7 + 12)$

Schritt 4.2.2

Addiere $7$ und $12$ .

$1 \cdot 23 - 5 \cdot 45 - 2 \cdot 19$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $23$ mit $1$ .

$23 - 5 \cdot 45 - 2 \cdot 19$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $45$ .

$23 - 225 - 2 \cdot 19$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $19$ .

$23 - 225 - 38$

Schritt 5.2

Subtrahiere $225$ von $23$ .

$- 202 - 38$

Schritt 5.3

Subtrahiere $38$ von $- 202$ .

$- 240$