Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 12 y - 6 x + 5 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 y - 6 x + 5 = - x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 y + 5 = - x^{2} + 6 x$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 y = - x^{2} + 6 x - 5$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 12 y = - x^{2} + 6 x - 5$ durch $- 12$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 y = - x^{2} + 6 x - 5$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{- x^{2}}{- 12} + \frac{6 x}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{- x^{2}}{- 12} + \frac{6 x}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 12} + \frac{6 x}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 x}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 (x)}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 x}{6 \cdot - 2} + \frac{- 5}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 x}{6 \cdot - 2} + \frac{- 5}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{- 2} + \frac{- 5}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{- 5}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{5}{12}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{5}{12}$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = \frac{5}{12}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Schritt 1.2.3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{2} (1 \cdot 6)$

Schritt 1.2.3.2.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot 6$

Schritt 1.2.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot 6$

Schritt 1.2.3.2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (3))$

Schritt 1.2.3.2.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Schritt 1.2.3.2.6.4

Forme den Ausdruck um.

$d = - 1 \cdot 3$

Schritt 1.2.3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = - 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{5}{12} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$e = \frac{5}{12} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$e = \frac{5}{12} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = \frac{5}{12} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{5}{12} - (\frac{1}{4} \cdot 3)$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $3$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{3}{4}$

Schritt 1.2.4.2.2

Um $- \frac{3}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{3 \cdot 3}{12}$

Schritt 1.2.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{5 - 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 1.2.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$e = \frac{5 - 9}{12}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Subtrahiere $9$ von $5$ .

$e = \frac{- 4}{12}$

Schritt 1.2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$e = \frac{4 (- 1)}{12}$

Schritt 1.2.4.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{12} {(x - 3)}^{2} - \frac{1}{3}$ ein.

$\frac{1}{12} {(x - 3)}^{2} - \frac{1}{3}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x - 3)}^{2} - \frac{1}{3}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$h = 3$

$k = - \frac{1}{3}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, - \frac{1}{3})$

Schritt 4