Elementarmathematik Beispiele

$x = \frac{1}{4} (y^{2} + 2 y + 33)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (y^{2} + 2 y + 33)$ .

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{4} y^{2} + \frac{1}{4} (2 y) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Schritt 1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{4} (2 y) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 y) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Schritt 1.1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (y)) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Schritt 1.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 y) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Schritt 1.1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \cdot 33$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{1}{4} \cdot 33$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $33$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{33}{4}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{33}{4}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{33}{4}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} (1 \cdot 2)$

Schritt 1.2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $1 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{1}{2} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{33}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $\frac{1}{4}$ durch $1$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{33 - 1}{4}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $1$ von $33$ .

$e = \frac{32}{4}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $32$ durch $4$ .

$e = 8$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{4} {(y + 1)}^{2} + 8$ ein.

$\frac{1}{4} {(y + 1)}^{2} + 8$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 1)}^{2} + 8$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$h = 8$

$k = - 1$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(8, - 1)$

Schritt 4