Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 2 x - 18 y + 69 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x - 18 y + 69 = - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $18 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x + 69 = - y^{2} + 18 y$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $69$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - y^{2} + 18 y - 69$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - y^{2} + 18 y - 69$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - y^{2} + 18 y - 69$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{18 y}{- 2} + \frac{- 69}{- 2}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{18 y}{- 2} + \frac{- 69}{- 2}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{18 y}{- 2} + \frac{- 69}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{18 y}{- 2} + \frac{- 69}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $- 2$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18 y$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (9 y)}{- 2} + \frac{- 69}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{9 y}{- 1}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - 1 \cdot (9 y) + \frac{- 69}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot (9 y)$ als $- (9 y)$ um.

$x = \frac{y^{2}}{2} - (9 y) + \frac{- 69}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - 9 y + \frac{- 69}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{2} - 9 y + \frac{69}{2}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{2} - 9 y + \frac{69}{2}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 9$

$c = \frac{69}{2}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 9}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 9}{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$d = \frac{- 9}{1}$

Schritt 1.2.3.2.3

Dividiere $- 9$ durch $1$ .

$d = - 9$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{69}{2} - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$e = \frac{69}{2} - \frac{81}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{69}{2} - \frac{81}{\frac{4}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = \frac{69}{2} - \frac{81}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{69 - 81}{2}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $81$ von $69$ .

$e = \frac{- 12}{2}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $- 12$ durch $2$ .

$e = - 6$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(y - 9)}^{2} - 6$ ein.

$\frac{1}{2} {(y - 9)}^{2} - 6$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 9)}^{2} - 6$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 6$

$k = 9$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 6, 9)$

Schritt 4