Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 44 x - 69$

Schritt 1

Setze $x^{3} - 10 x^{2} + 44 x - 69$ gleich $0$ .

$x^{3} - 10 x^{2} + 44 x - 69 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{3} - 10 x^{2} + 44 x - 69$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 69, \pm 3, \pm 23$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 69, \pm 3, \pm 23$

Schritt 2.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} - 10 \cdot 3^{2} + 44 \cdot 3 - 69$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 10 \cdot 3^{2} + 44 \cdot 3 - 69$

Schritt 2.1.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 - 10 \cdot 9 + 44 \cdot 3 - 69$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $9$ .

$27 - 90 + 44 \cdot 3 - 69$

Schritt 2.1.3.5

Subtrahiere $90$ von $27$ .

$- 63 + 44 \cdot 3 - 69$

Schritt 2.1.3.6

Mutltipliziere $44$ mit $3$ .

$- 63 + 132 - 69$

Schritt 2.1.3.7

Addiere $- 63$ und $132$ .

$69 - 69$

Schritt 2.1.3.8

Subtrahiere $69$ von $69$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 44 x - 69}{x - 3}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $x^{3} - 10 x^{2} + 44 x - 69$ durch $x - 3$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$44 x$

$69$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$44 x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$44 x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$44 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 x^{2} + 21 x$

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$44 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$44 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$23 x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$44 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$23 x$	-	$69$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $23 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$23$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$44 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$23 x$	-	$69$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$23$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$44 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$23 x$	-	$69$
							+	$23 x$	-	$69$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $23 x - 69$

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$23$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$44 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$23 x$	-	$69$
							-	$23 x$	+	$69$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$23$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$44 x$	-	$69$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$44 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$23 x$	-	$69$
							-	$23 x$	+	$69$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 7 x + 23$

Schritt 2.1.6

Schreibe $x^{3} - 10 x^{2} + 44 x - 69$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (x^{2} - 7 x + 23) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 7 x + 23 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} - 7 x + 23$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} - 7 x + 23$ gleich $0$ .

$x^{2} - 7 x + 23 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} - 7 x + 23 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 7$ und $c = 23$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 23)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 23$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $23$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 92}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Subtrahiere $92$ von $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 43}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4

Schreibe $- 43$ als $- 1 (43)$ um.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (43)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{43}$ um.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{7 \pm i \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{7 \pm i \sqrt{43}}{2}$

Schritt 2.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{7 + i \sqrt{43}}{2}, \frac{7 - i \sqrt{43}}{2}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x^{2} - 7 x + 23) = 0$ wahr machen.

$x = 3, \frac{7 + i \sqrt{43}}{2}, \frac{7 - i \sqrt{43}}{2}$

Schritt 3