Elementarmathematik Beispiele

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x + 40 y + 37 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $37$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x + 40 y = - 37$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 x^{2} - 54 x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 54$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 27}{9}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 27$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 54$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $2916$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$e = 0 - 81$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $81$ von $0$ .

$e = - 81$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ ein.

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Schritt 3

Setze $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ für $9 x^{2} - 54 x$ ein in der Gleichung $9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x + 40 y = - 37$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81 + 4 y^{2} + 40 y = - 37$

Schritt 4

Bringe $- 81$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $81$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} + 40 y = - 37 + 81$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 y^{2} + 40 y$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = 40$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{40}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $40$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (4)}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{20}{4}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot 5}{4}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot 5}{4 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{1}$

Schritt 5.3.2.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$d = 5$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{1600}{16}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $1600$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$e = 0 - 100$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $100$ von $0$ .

$e = - 100$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(y + 5)}^{2} - 100$ ein.

$4 {(y + 5)}^{2} - 100$

Schritt 6

Setze $4 {(y + 5)}^{2} - 100$ für $4 y^{2} + 40 y$ ein in der Gleichung $9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x + 40 y = - 37$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 5)}^{2} - 100 = - 37 + 81$

Schritt 7

Bringe $- 100$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $100$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 5)}^{2} = - 37 + 81 + 100$

Schritt 8

Vereinfache $- 37 + 81 + 100$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Addiere $- 37$ und $81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 5)}^{2} = 44 + 100$

Schritt 8.2

Addiere $44$ und $100$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 5)}^{2} = 144$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $144$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y + 5)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 5)}^{2}}{36} = 1$

Schritt 11

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 12

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 6$

$b = 4$

$k = - 5$

$h = 3$

Schritt 13

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 14

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}}{6}$

Schritt 15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4^{2}}}{6}$

Schritt 15.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 16}}{6}$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{\sqrt{36 - 16}}{6}$

Schritt 15.1.4

Subtrahiere $16$ von $36$ .

$\frac{\sqrt{20}}{6}$

Schritt 15.1.5

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{6}$

Schritt 15.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{6}$

Schritt 15.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{5}}{6}$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{5})}{6}$

Schritt 15.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 15.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 15.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Dezimalform:

$0.74535599 \dots$

Schritt 17