Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$

Schritt 1

Setze $- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$ gleich $0$ .

$- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5$

Schritt 2.1.1.3

Setze $- 0.25$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.25$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $- 0.25$ in das Polynom ein.

$- 4 {(- 0.25)}^{3} + 31 {(- 0.25)}^{2} - 20 \cdot - 0.25 - 7$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $- 0.25$ mit $3$ .

$- 4 \cdot - 0.015625 + 31 {(- 0.25)}^{2} - 20 \cdot - 0.25 - 7$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 0.015625$ .

$0.0625 + 31 {(- 0.25)}^{2} - 20 \cdot - 0.25 - 7$

Schritt 2.1.1.3.4

Potenziere $- 0.25$ mit $2$ .

$0.0625 + 31 \cdot 0.0625 - 20 \cdot - 0.25 - 7$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $31$ mit $0.0625$ .

$0.0625 + 1.9375 - 20 \cdot - 0.25 - 7$

Schritt 2.1.1.3.6

Addiere $0.0625$ und $1.9375$ .

$2 - 20 \cdot - 0.25 - 7$

Schritt 2.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 0.25$ .

$2 + 5 - 7$

Schritt 2.1.1.3.8

Addiere $2$ und $5$ .

$7 - 7$

Schritt 2.1.1.3.9

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $- 0.25$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $4 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7}{4 x + 1}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$ durch $4 x + 1$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4 x$

$1$

$4 x^{3}$

$31 x^{2}$

$20 x$

$7$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

				-	$x^{2}$
	$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $32 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $32 x^{2} + 8 x$

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 28 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$7$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$7$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$
							-	$28 x$	-	$7$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 28 x - 7$

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$7$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$
							+	$28 x$	+	$7$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$7$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$
							+	$28 x$	+	$7$
										$0$

Schritt 2.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} + 8 x - 7$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$ als eine Menge von Faktoren.

$(4 x + 1) (- x^{2} + 8 x - 7) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 7 = 7$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$(4 x + 1) (- x^{2} + 8 (x) - 7) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Schreibe $8$ um als $1$ plus $7$

$(4 x + 1) (- x^{2} + (1 + 7) x - 7) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x + 1) (- x^{2} + 1 x + 7 x - 7) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(4 x + 1) (- x^{2} + x + 7 x - 7) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x + 1) ((- x^{2} + x) + 7 x - 7) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(4 x + 1) (x (- x + 1) - 7 (- x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 1$ .

$(4 x + 1) ((- x + 1) (x - 7)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(4 x + 1) (- x + 1) (x - 7) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$- x + 1 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 2.3

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.4

Setze $- x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $- x + 1$ gleich $0$ .

$- x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $- x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x + 1) (- x + 1) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{4}, 1, 7$

Schritt 3