Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{\sqrt{x + 10}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 10}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 10 \geq 0$

Schritt 2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 10$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{x + 10}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x + 10} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 10}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 10}$ als ${(x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 10)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$x + 10 = 0^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x + 10 = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 10$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 10, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > - 10}$

Schritt 6

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y < 0}$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- 10, \infty), {x | x > - 10}$

Wertebereich: $(- \infty, 0), {y | y < 0}$

Schritt 8