Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 3 x$ an.

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Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Schritt 1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{3}{2}$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $\frac{9}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ ein.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Schritt 2

Setze ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ für $x^{2} - 3 x$ ein in der Gleichung $x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y + y^{2} = 81$

Schritt 3

Bringe $- \frac{9}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{9}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y + y^{2} = 81 + \frac{9}{4}$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung auf $y + y^{2}$ an.

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Schritt 4.1

Stelle $y$ und $y^{2}$ um.

$y^{2} + y$

Schritt 4.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 4.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2}$

Schritt 4.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 4.5.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 4.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 5

Setze ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $y + y^{2}$ ein in der Gleichung $x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = 81 + \frac{9}{4}$

Schritt 6

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 7

Vereinfache $81 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$ .

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{9 + 1}{4}$

Schritt 7.2

Addiere $9$ und $1$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{10}{4}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $4$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 (5)}{4}$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{5}{2}$

Schritt 7.4

Um $81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 7.5

Kombiniere $81$ und $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 7.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81 \cdot 2 + 5}{2}$

Schritt 7.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $81$ mit $2$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{162 + 5}{2}$

Schritt 7.7.2

Addiere $162$ und $5$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{167}{2}$