Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} - y^{2} + 24 x + 4 y + 28 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $28$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - y^{2} + 24 x + 4 y = - 28$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x^{2} + 24 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = 24$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{24}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (4)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{12}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot 3}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$d = 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{576}{16}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $576$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$e = 0 - 36$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$e = - 36$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x + 3)}^{2} - 36$ ein.

$4 {(x + 3)}^{2} - 36$

Schritt 1.3

Setze $4 {(x + 3)}^{2} - 36$ für $4 x^{2} + 24 x$ ein in der Gleichung $4 x^{2} - y^{2} + 24 x + 4 y = - 28$ .

$4 {(x + 3)}^{2} - 36 - y^{2} + 4 y = - 28$

Schritt 1.4

Bringe $- 36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

$4 {(x + 3)}^{2} - y^{2} + 4 y = - 28 + 36$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- y^{2} + 4 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - - 4$

Schritt 1.5.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$e = 4$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y - 2)}^{2} + 4$ ein.

$- {(y - 2)}^{2} + 4$

Schritt 1.6

Setze $- {(y - 2)}^{2} + 4$ für $- y^{2} + 4 y$ ein in der Gleichung $4 x^{2} - y^{2} + 24 x + 4 y = - 28$ .

$4 {(x + 3)}^{2} - {(y - 2)}^{2} + 4 = - 28 + 36$

Schritt 1.7

Bringe $4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

$4 {(x + 3)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = - 28 + 36 - 4$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 28 + 36 - 4$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 28$ und $36$ .

$4 {(x + 3)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 8 - 4$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$4 {(x + 3)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 4$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $4$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 {(x + 3)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

${(x + 3)}^{2} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 1$

$b = 2$

$k = 2$

$h = - 3$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 3, 2)$

Schritt 5