Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} + 4 y - x + 1 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y - x + 1 = - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x + 1 = - y^{2} - 4 y$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - y^{2} - 4 y - 1$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - y^{2} - 4 y - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - y^{2} - 4 y - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 4 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 4 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 4 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{- 4 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$x = y^{2} + \frac{- 4 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 4 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (- 4 y) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (- 4 y)$ als $- (- 4 y)$ um.

$x = y^{2} - (- 4 y) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = y^{2} + 4 y + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.6

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = y^{2} + 4 y + 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 4 y + 1$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 4$

$c = 1$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1$ heraus.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 1 - \frac{4}{1}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 1 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 1 - 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$e = - 3$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 2)}^{2} - 3$ ein.

${(y + 2)}^{2} - 3$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = {(y + 2)}^{2} - 3$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = - 3$

$k = - 2$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, - 2)$

Schritt 4