Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{π}{2} + \sin (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{π}{2} + \sin (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{π}{2} + \sin (y) = x$ um.

$\frac{π}{2} + \sin (y) = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (y) = x - \frac{π}{2}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{π}{2} + \sin (x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin ((\frac{π}{2} + \sin (x)) - \frac{π}{2})$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\frac{π}{2} + \sin (x)) - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{π - π}{2} + \sin (x))$

Schritt 4.2.3.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{0}{2} + \sin (x))$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.4.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (0 + \sin (x))$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arcsin (x - \frac{π}{2}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = \frac{π}{2} + \sin (\arcsin (x - \frac{π}{2}))$

Schritt 4.3.3

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = \frac{π}{2} + x - \frac{π}{2}$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{π}{2} + x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + \frac{π - π}{2}$

Schritt 4.3.4.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + \frac{0}{2}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.5.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{π}{2} + \sin (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$