Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 45, \pm 11.25, \pm 22.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 15, \pm 3.75, \pm 7.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

Schritt 1.1.3

Setze $- 3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.1.3.1

Setze $- 3$ in das Polynom ein.

$4 {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$4 \cdot - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 27$ .

$- 108 - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Schritt 1.1.3.4

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- 108 - 11 \cdot 9 - 54 \cdot - 3 + 45$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $- 11$ mit $9$ .

$- 108 - 99 - 54 \cdot - 3 + 45$

Schritt 1.1.3.6

Subtrahiere $99$ von $- 108$ .

$- 207 - 54 \cdot - 3 + 45$

Schritt 1.1.3.7

Mutltipliziere $- 54$ mit $- 3$ .

$- 207 + 162 + 45$

Schritt 1.1.3.8

Addiere $- 207$ und $162$ .

$- 45 + 45$

Schritt 1.1.3.9

Addiere $- 45$ und $45$ .

$0$

Schritt 1.1.4

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45}{x + 3}$

Schritt 1.1.5

Dividiere $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ durch $x + 3$ .

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Schritt 1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$54 x$

$45$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			+	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Schritt 1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} + 12 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Schritt 1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$

Schritt 1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$

Schritt 1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 23 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$

Schritt 1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$23 x^{2}$	-	$69 x$

Schritt 1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 23 x^{2} - 69 x$

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$

Schritt 1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$

Schritt 1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$

Schritt 1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $15 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$

Schritt 1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	+	$45$

Schritt 1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $15 x + 45$

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	-	$45$

Schritt 1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	-	$45$
										$0$

Schritt 1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$4 x^{2} - 23 x + 15$

Schritt 1.1.6

Schreibe $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 3) (4 x^{2} - 23 x + 15) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ und deren Summe gleich $b = - 23$ ist.

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Schritt 1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 23$ aus $- 23 x$ heraus.

$(x + 3) (4 x^{2} - 23 x + 15) = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Schreibe $- 23$ um als $- 3$ plus $- 20$

$(x + 3) (4 x^{2} + (- 3 - 20) x + 15) = 0$

Schritt 1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 3) (4 x^{2} - 3 x - 20 x + 15) = 0$

Schritt 1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 3) ((4 x^{2} - 3 x) - 20 x + 15) = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 3) (x (4 x - 3) - 5 (4 x - 3)) = 0$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 3$ .

$(x + 3) ((4 x - 3) (x - 5)) = 0$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (4 x - 3) (x - 5) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$4 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $4 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 3$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (4 x - 3) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, \frac{3}{4}, 5$

Schritt 7