Elementarmathematik Beispiele

$(x - 7) {(x - 1)}^{2} (x + 4) < 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 2

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 3

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) {(x - 1)}^{2} (x + 4) < 0$ wahr machen.

$x = 7, 1, - 4$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 6) - 7) {((- 6) - 1)}^{2} ((- 6) + 4) < 0$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $1274$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) - 7) {((0) - 1)}^{2} ((0) + 4) < 0$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $- 28$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((4) - 7) {((4) - 1)}^{2} ((4) + 4) < 0$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $- 216$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 7.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((10) - 7) {((10) - 1)}^{2} ((10) + 4) < 0$

Schritt 7.4.3

Die linke Seite $3402$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 < x < 1$ oder $1 < x < 7$

Schritt 9

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 4, 1) \cup (1, 7)$

Schritt 10