Elementarmathematik Beispiele

$r (x) = \frac{2 x^{2} + 14 x - 36}{x^{2} + x - 12}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{2} + 14 x - 36}{x^{2} + x - 12}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + x - 12 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 4$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 3, - 4}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty), {x | x \neq 3, - 4}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 6