Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 8 x - 2 y - 19 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$x^{2} + {(0)}^{2} - 8 x - 2 \cdot 0 - 19 = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(0)}^{2} - 8 x - 2 \cdot 0 - 19$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} + 0 - 8 x - 2 \cdot 0 - 19 = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$x^{2} + 0 - 8 x + 0 - 19 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 0 - 8 x + 0 - 19$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} - 8 x + 0 - 19 = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Addiere $x^{2} - 8 x$ und $0$ .

$x^{2} - 8 x - 19 = 0$

Schritt 1.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = - 19$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 19)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 19$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3

Addiere $64$ und $76$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.4

Schreibe $140$ als $2^{2} \cdot 35$ um.

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Schritt 1.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $140$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{35}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 19$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.3

Addiere $64$ und $76$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $140$ als $2^{2} \cdot 35$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $140$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{35}$

Schritt 1.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 4 + \sqrt{35}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 19$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $64$ und $76$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $140$ als $2^{2} \cdot 35$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $140$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{35}$

Schritt 1.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 4 - \sqrt{35}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 4 + \sqrt{35}, 4 - \sqrt{35}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(4 + \sqrt{35}, 0), (4 - \sqrt{35}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

${(0)}^{2} + y^{2} - 8 \cdot 0 - 2 y - 19 = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(0)}^{2} + y^{2} - 8 \cdot 0 - 2 y - 19$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + y^{2} - 8 \cdot 0 - 2 y - 19 = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$0 + y^{2} + 0 - 2 y - 19 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + y^{2} + 0 - 2 y - 19$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $0$ und $y^{2}$ .

$y^{2} + 0 - 2 y - 19 = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $y^{2}$ und $0$ .

$y^{2} - 2 y - 19 = 0$

Schritt 2.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 19$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 19)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 19$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.3

Addiere $4$ und $76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$y = 1 \pm 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 19$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.3

Addiere $4$ und $76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$y = 1 \pm 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 1 + 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 19$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.3

Addiere $4$ und $76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$y = 1 \pm 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 1 - 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 1 + 2 \sqrt{5}, 1 - 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1 + 2 \sqrt{5}), (0, 1 - 2 \sqrt{5})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(4 + \sqrt{35}, 0), (4 - \sqrt{35}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1 + 2 \sqrt{5}), (0, 1 - 2 \sqrt{5})$

Schritt 4