Elementarmathematik Beispiele

$x = 20 y^{2} - 120 y + 60$

Schritt 1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$20 y^{2} - 120 y + 60 = x$

Schritt 2

Subtrahiere $60$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 y^{2} - 120 y = x - 60$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 20$

$b = - 120$

$c = 0 = x - 60$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = x - 60$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 120}{2 \cdot 20}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 120$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 120$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 60}{2 \cdot 20}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 20$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 60}{2 (20)}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 60}{2 \cdot 20}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 60}{20}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 60$ und $20$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $20$ aus $- 60$ heraus.

$d = \frac{20 \cdot - 3}{20}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $20$ aus $20$ heraus.

$d = \frac{20 \cdot - 3}{20 (1)}$

Schritt 3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{20 \cdot - 3}{20 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 3.3.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 120)}^{2}}{4 \cdot 20}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $- 120$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{14400}{4 \cdot 20}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $20$ .

$e = 0 - \frac{14400}{80}$

Schritt 3.4.2.1.3

Dividiere $14400$ durch $80$ .

$e = 0 - 1 \cdot 180$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $180$ .

$e = 0 - 180$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $180$ von $0$ .

$e = - 180$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $20 {(y - 3)}^{2} - 180$ ein.

$20 {(y - 3)}^{2} - 180 = x - 60$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $180$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$20 {(y - 3)}^{2} = x - 60 + 180$

Schritt 4.2

Addiere $- 60$ und $180$ .

$20 {(y - 3)}^{2} = x + 120$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $20 {(y - 3)}^{2} = x + 120$ durch $20$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $20 {(y - 3)}^{2} = x + 120$ durch $20$ .

$\frac{20 {(y - 3)}^{2}}{20} = \frac{x}{20} + \frac{120}{20}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 {(y - 3)}^{2}}{20} = \frac{x}{20} + \frac{120}{20}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere ${(y - 3)}^{2}$ durch $1$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x}{20} + \frac{120}{20}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $120$ durch $20$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x}{20} + 6$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{20}{20}$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x}{20} + 6 \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 6.2

Kombiniere $6$ und $\frac{20}{20}$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x}{20} + \frac{6 \cdot 20}{20}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x + 6 \cdot 20}{20}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $6$ mit $20$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x + 120}{20}$

Schritt 6.5

Stelle die Terme um.

${(y - 3)}^{2} = \frac{1}{20} (x + 120)$