Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24 \geq 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Schritt 2.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} + 1^{2} - 26 \cdot 1 + 24$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 + 1^{2} - 26 \cdot 1 + 24$

Schritt 2.1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 + 1 - 26 \cdot 1 + 24$

Schritt 2.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 - 26 \cdot 1 + 24$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $- 26$ mit $1$ .

$2 - 26 + 24$

Schritt 2.1.3.6

Subtrahiere $26$ von $2$ .

$- 24 + 24$

Schritt 2.1.3.7

Addiere $- 24$ und $24$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 26 x + 24}{x - 1}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$26 x$

$24$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 24 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$
							-	$24 x$	+	$24$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 24 x + 24$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$
							+	$24 x$	-	$24$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$
							+	$24 x$	-	$24$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 2 x - 24$

Schritt 2.1.6

Schreibe $x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (x^{2} + 2 x - 24) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $2$ ist.

$- 4, 6$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) ((x - 4) (x + 6)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x - 4) (x + 6) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x - 4) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 1, 4, - 6$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{2} - 26 \cdot - 8 + 24 \geq 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 216$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 26 \cdot 0 + 24 \geq 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $24$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2)}^{3} + {(2)}^{2} - 26 \cdot 2 + 24 \geq 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 16$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{3} + {(6)}^{2} - 26 \cdot 6 + 24 \geq 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $120$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 6 \leq x \leq 1$ oder $x \geq 4$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 6, 1] \cup [4, \infty)$

Schritt 12