Elementarmathematik Beispiele

$3 + \sqrt{4 a - 5} \leq 10$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{4 a - 5}$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{4 a - 5} \leq 10 - 3$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3$ von $10$ .

$\sqrt{4 a - 5} \leq 7$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{4 a - 5}}^{2} \leq 7^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 a - 5}$ als ${(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 7^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 a - 5)}^{1} \leq 7^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$4 a - 5 \leq 7^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$4 a - 5 \leq 49$

Schritt 4

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 a \leq 49 + 5$

Schritt 4.1.2

Addiere $49$ und $5$ .

$4 a \leq 54$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 a \leq 54$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 a \leq 54$ durch $4$ .

$\frac{4 a}{4} \leq \frac{54}{4}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a}{4} \leq \frac{54}{4}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a \leq \frac{54}{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $4$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $54$ heraus.

$a \leq \frac{2 (27)}{4}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$a \leq \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a \leq \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a \leq \frac{27}{2}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $- 7 + \sqrt{4 a - 5}$ .

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Schritt 5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 a - 5}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 a - 5 \geq 0$

Schritt 5.2

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 a \geq 5$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 a \geq 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 a \geq 5$ durch $4$ .

$\frac{4 a}{4} \geq \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a}{4} \geq \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a \geq \frac{5}{4}$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $a$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[\frac{5}{4}, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$a < \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$

$a > \frac{27}{2}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $a < \frac{5}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $a < \frac{5}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = 0$

Schritt 7.1.2

Ersetze $a$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 + \sqrt{4 (0) - 5} \leq 10$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = 4$

Schritt 7.2.2

Ersetze $a$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 + \sqrt{4 (4) - 5} \leq 10$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $6.31662479$ ist kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $a > \frac{27}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $a > \frac{27}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = 16$

Schritt 7.3.2

Ersetze $a$ durch $16$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 + \sqrt{4 (16) - 5} \leq 10$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $10.68114574$ ist größer als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$a < \frac{5}{4}$ Falsch

$\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ Wahr

$a > \frac{27}{2}$ Falsch

$a < \frac{5}{4}$ Falsch

$\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ Wahr

$a > \frac{27}{2}$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{27}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{27}{2}$

Intervallschreibweise:

$[\frac{5}{4}, \frac{27}{2}]$

Schritt 10