Elementarmathematik Beispiele

${(\sqrt{3} + i)}^{6}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${\sqrt{3}}^{6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{6}$ als $3^{3}$ um.

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Schritt 2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$3^{\frac{6}{2}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3^{\frac{3}{1}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3^{3} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{5}$ als $\sqrt{3^{5}}$ um.

$27 + 6 \sqrt{3^{5}} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $3$ mit $5$ .

$27 + 6 \sqrt{243} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.5

Schreibe $243$ als $9^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $81$ aus $243$ heraus.

$27 + 6 \sqrt{81 (3)} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$27 + 6 \sqrt{9^{2} \cdot 3} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$27 + 6 (9 \sqrt{3}) i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.8

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 2.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.8.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.8.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{2} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 9 i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $15$ mit $9$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 135 i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.11

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$27 + 54 \sqrt{3} i + 135 \cdot - 1 + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $135$ mit $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.13

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{3^{3}} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.14

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{27} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.15

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.15.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{9 (3)} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.15.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 (3 \sqrt{3}) i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.17

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.18

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.19

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (- 1 \cdot i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.20

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (- i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $60$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.22

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.22.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.22.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.22.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.22.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.22.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.22.4.2

Forme den Ausdruck um.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{1} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.22.5

Berechne den Exponenten.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3 i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.23

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.24

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.24.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 {(i^{2})}^{2} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.24.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 {(- 1)}^{2} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.24.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 \cdot 1 + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.25

Mutltipliziere $45$ mit $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.26

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} (i^{4} i) + i^{6}$

Schritt 2.1.27

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.27.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Schritt 2.1.27.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Schritt 2.1.27.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} (1 i) + i^{6}$

Schritt 2.1.28

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{6}$

Schritt 2.1.29

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{4} i^{2}$

Schritt 2.1.30

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.30.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Schritt 2.1.30.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Schritt 2.1.30.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + 1 i^{2}$

Schritt 2.1.31

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{2}$

Schritt 2.1.32

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $135$ von $27$ .

$54 \sqrt{3} i - 108 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $60 \sqrt{3} i$ von $54 \sqrt{3} i$ .

$- 6 \sqrt{3} i - 108 + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

Schritt 2.2.3

Addiere $- 6 \sqrt{3} i$ und $6 \sqrt{3} i$ .

$0 - 108 + 45 - 1$

Schritt 2.2.4

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.4.1

Subtrahiere $108$ von $0$ .

$- 108 + 45 - 1$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $- 108$ und $45$ .

$- 63 - 1$

Schritt 2.2.4.3

Subtrahiere $1$ von $- 63$ .

$- 64$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 64$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $- 64$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

Schritt 6.3

Addiere $0$ und $4096$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Schritt 6.4

Schreibe $4096$ als $64^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Schritt 6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 64$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{0}{- 64}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $π$ .

$θ = π$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = π$ und $| z | = 64$ .

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$