Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 20 x - 32 y + 81 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $81$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 20 x - 32 y = - 81$

Schritt 2

Teile beide Seiten der Gleichung durch $4$ .

$x^{2} + y^{2} - 5 x - 8 y = - \frac{81}{4}$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 5 x$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{5}{2}$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $\frac{25}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ ein.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 4

Setze ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ für $x^{2} - 5 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 5 x - 8 y = - \frac{81}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 8 y = - \frac{81}{4}$

Schritt 5

Bringe $- \frac{25}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{25}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 8 y = - \frac{81}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 6

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 8 y$ an.

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Schritt 6.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Schritt 6.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Schritt 6.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{1}$

Schritt 6.3.2.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$d = - 4$

Schritt 6.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Schritt 6.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Schritt 6.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 0 - 16$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$e = - 16$

Schritt 6.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 4)}^{2} - 16$ ein.

${(y - 4)}^{2} - 16$

Schritt 7

Setze ${(y - 4)}^{2} - 16$ für $y^{2} - 8 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 5 x - 8 y = - \frac{81}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = - \frac{81}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 8

Bringe $- 16$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $16$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - \frac{81}{4} + \frac{25}{4} + 16$

Schritt 9

Vereinfache $- \frac{81}{4} + \frac{25}{4} + 16$ .

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Schritt 9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16 + \frac{- 81 + 25}{4}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.1

Addiere $- 81$ und $25$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16 + \frac{- 56}{4}$

Schritt 9.2.2

Dividiere $- 56$ durch $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16 - 14$

Schritt 9.2.3

Subtrahiere $14$ von $16$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 2$