Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 80 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = - 9$ , $b = - 54$ und $c = x^{2} + 2 x - 80$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{54 \pm \sqrt{{(- 54)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80))}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $- 54$ mit $2$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.4.2

Mutltipliziere $36$ mit $- 80$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.5

Subtrahiere $2880$ von $2916$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.6

Schreibe $36 x^{2} + 72 x + 36$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.3.1.6.1

Faktorisiere $36$ aus $36 x^{2} + 72 x + 36$ heraus.

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Schritt 1.3.1.6.1.1

Faktorisiere $36$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.6.1.2

Faktorisiere $36$ aus $72 x$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.6.1.3

Faktorisiere $36$ aus $36$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.6.1.4

Faktorisiere $36$ aus $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.6.1.5

Faktorisiere $36$ aus $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.6.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.3.1.6.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.6.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.3.1.6.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.6.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.7

Schreibe $36 {(x + 1)}^{2}$ als ${(6 (x + 1))}^{2}$ um.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.1.10

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $- 54$ mit $2$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere $36$ mit $- 80$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.5

Subtrahiere $2880$ von $2916$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.6

Schreibe $36 x^{2} + 72 x + 36$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.4.1.6.1

Faktorisiere $36$ aus $36 x^{2} + 72 x + 36$ heraus.

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Schritt 1.4.1.6.1.1

Faktorisiere $36$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.6.1.2

Faktorisiere $36$ aus $72 x$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.6.1.3

Faktorisiere $36$ aus $36$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.6.1.4

Faktorisiere $36$ aus $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.6.1.5

Faktorisiere $36$ aus $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.6.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.4.1.6.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.6.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.4.1.6.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.6.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.7

Schreibe $36 {(x + 1)}^{2}$ als ${(6 (x + 1))}^{2}$ um.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.1.10

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

Schritt 1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - \frac{54 + 6 x + 6}{18}$

Schritt 1.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54 + 6 x + 6$ und $18$ .

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Schritt 1.4.5.1

Faktorisiere $6$ aus $54$ heraus.

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 x + 6}{18}$

Schritt 1.4.5.2

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x) + 6}{18}$

Schritt 1.4.5.3

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x) + 6 (1)}{18}$

Schritt 1.4.5.4

Faktorisiere $6$ aus $6 (x) + 6 (1)$ heraus.

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x + 1)}{18}$

Schritt 1.4.5.5

Faktorisiere $6$ aus $6 \cdot 9 + 6 (x + 1)$ heraus.

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{18}$

Schritt 1.4.5.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.5.6.1

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{6 (3)}$

Schritt 1.4.5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{6 \cdot 3}$

Schritt 1.4.5.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{9 + x + 1}{3}$

Schritt 1.4.6

Addiere $9$ und $1$ .

$y = - \frac{x + 10}{3}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $- 54$ mit $2$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.4.2

Mutltipliziere $36$ mit $- 80$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.5

Subtrahiere $2880$ von $2916$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.6

Schreibe $36 x^{2} + 72 x + 36$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $36$ aus $36 x^{2} + 72 x + 36$ heraus.

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Schritt 1.5.1.6.1.1

Faktorisiere $36$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.6.1.2

Faktorisiere $36$ aus $72 x$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.6.1.3

Faktorisiere $36$ aus $36$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.6.1.4

Faktorisiere $36$ aus $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.6.1.5

Faktorisiere $36$ aus $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ heraus.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.6.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.5.1.6.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.6.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.5.1.6.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.6.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.7

Schreibe $36 {(x + 1)}^{2}$ als ${(6 (x + 1))}^{2}$ um.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.1.10

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

Schritt 1.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - \frac{54 - (6 x + 6)}{18}$

Schritt 1.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54 - (6 x + 6)$ und $18$ .

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Schritt 1.5.5.1

Schreibe $54$ als $- 1 (- 54)$ um.

$y = - \frac{- 1 \cdot - 54 - (6 x + 6)}{18}$

Schritt 1.5.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 54) - (6 x + 6)$ heraus.

$y = - \frac{- 1 (- 54 + 6 x + 6)}{18}$

Schritt 1.5.5.3

Faktorisiere $6$ aus $- 1 (- 54 + 6 x + 6)$ heraus.

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{18}$

Schritt 1.5.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.4.1

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{6 (3)}$

Schritt 1.5.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{6 \cdot 3}$

Schritt 1.5.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{- 1 (- 9 + x + 1)}{3}$

Schritt 1.5.6

Addiere $- 9$ und $1$ .

$y = - \frac{- 1 (x - 8)}{3}$

Schritt 1.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x - 8}{3}$

Schritt 1.5.8

Multipliziere $- - \frac{x - 8}{3}$ .

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Schritt 1.5.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 (\frac{x - 8}{3})$

Schritt 1.5.8.2

Mutltipliziere $\frac{x - 8}{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{x - 8}{3}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{x + 10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

$y = - \frac{x + 10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{x + 10}{3}$ in zwei Brüche.

$y = - (\frac{x}{3} + \frac{10}{3})$

$y = \frac{x - 8}{3}$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

Schritt 5

Zerlege den Bruch $\frac{x - 8}{3}$ in zwei Brüche.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{3} x) - \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3} x - \frac{8}{3}$

Schritt 8

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3} x - \frac{8}{3}$

Schritt 9