Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 35} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$3 x + 5 = 0$

$x^{2} + 2 x - 35 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 5$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{3}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 35$ und deren Summe $2$ ist.

$- 5, 7$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 7) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 6

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 7

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 7$

Schritt 9

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - \frac{5}{3}$

$x = 5, - 7$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{5}{3}, 5, - 7$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 35}$ .

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Schritt 11.1

Setze den Nenner in $\frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 35}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 2 x - 35 = 0$

Schritt 11.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 11.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 35$ und deren Summe $2$ ist.

$- 5, 7$

Schritt 11.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 7) = 0$

Schritt 11.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 11.2.3

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.3.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 11.2.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 11.2.4

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.4.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 11.2.4.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 11.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 7$

Schritt 11.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$

$- \frac{5}{3} < x < 5$

$x > 5$

Schritt 13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 13.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 13.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 10) + 5}{{(- 10)}^{2} + 2 (- 10) - 35} \geq 0$

Schritt 13.1.3

Die linke Seite $- 0.\overline{5}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 13.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < - \frac{5}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < - \frac{5}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 13.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 4) + 5}{{(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 35} \geq 0$

Schritt 13.2.3

Die linke Seite $0.\overline{259}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 13.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{5}{3} < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{5}{3} < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 13.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (0) + 5}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 35} \geq 0$

Schritt 13.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{142857}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 13.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 13.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (8) + 5}{{(8)}^{2} + 2 (8) - 35} \geq 0$

Schritt 13.4.3

Die linke Seite $0.6\overline{4}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 13.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$ Wahr

$- \frac{5}{3} < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$ Wahr

$- \frac{5}{3} < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

Schritt 14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7 < x \leq - \frac{5}{3}$ oder $x > 5$

Schritt 15

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 7, - \frac{5}{3}] \cup (5, \infty)$

Schritt 16