Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x - 5 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x^{2} + 8 x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ ein.

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.3

Setze $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ für $4 x^{2} + 8 x$ ein in der Gleichung $4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + y^{2} = 5$

Schritt 1.4

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 5 + 4$

Schritt 1.5

Addiere $5$ und $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 9$

Schritt 1.6

Teile jeden Term durch $9$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{9}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 3$

$b = \frac{3}{2}$

$k = 0$

$h = - 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 1, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{4}}$

Schritt 5.3.5

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}$

Schritt 5.3.6

Kombiniere $9$ und $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}$

Schritt 5.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.8.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}$

Schritt 5.3.8.2

Subtrahiere $9$ von $36$ .

$\sqrt{\frac{27}{4}}$

Schritt 5.3.9

Schreibe $\sqrt{\frac{27}{4}}$ als $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.10.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.10.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.10.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.11

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.11.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 1, 0 + 3)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(- 1, 3)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 1, 0 - (3))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(- 1, - 3)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 1, 0 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 7.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 1, 0 - (\frac{3 \sqrt{3}}{2}))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{3}$

Schritt 8.3.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}}{3}$

Schritt 8.3.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.5

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.6

Kombiniere $9$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.8.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.8.2

Subtrahiere $9$ von $36$ .

$\frac{\sqrt{\frac{27}{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.9

Schreibe $\sqrt{\frac{27}{4}}$ als $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.10.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.10.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.10.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.11

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.11.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}{3}$

Schritt 8.3.1.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{3}$

Schritt 8.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 8.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 8.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 10