Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 6 x + 3 y - 12 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x + 3 y - 12 = - x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y - 12 = - x^{2} - 6 x$

Schritt 1.1.1.3

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = - x^{2} - 6 x + 12$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - x^{2} - 6 x + 12$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - x^{2} - 6 x + 12$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{3} + \frac{12}{3}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{3} + \frac{12}{3}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{3} + \frac{12}{3}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{3} + \frac{12}{3}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- 2 x)}{3} + \frac{12}{3}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- 2 x)}{3 (1)} + \frac{12}{3}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- 2 x)}{3 \cdot 1} + \frac{12}{3}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{1} + \frac{12}{3}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.4

Dividiere $- 2 x$ durch $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} - 2 x + \frac{12}{3}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Dividiere $12$ durch $3$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} - 2 x + 4$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{3} - 2 x + 4$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{3}$

$b = - 2$

$c = 4$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 3$

Schritt 1.2.3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$d = 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 4 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 4 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 4 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$e = 4 - \frac{4}{\frac{- 4}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 4 - \frac{4}{- \frac{4}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 4 - (4 (- \frac{3}{4}))$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$e = 4 - (4 (\frac{- 3}{4}))$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 4 - (4 (\frac{- 3}{4}))$

Schritt 1.2.4.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 4 - - 3$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$e = 4 + 3$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $4$ und $3$ .

$e = 7$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} + 7$ ein.

$- \frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} + 7$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{2} + 7$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{3}$

$h = - 3$

$k = 7$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, 7)$

Schritt 4