Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{144}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{144}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 25$ .

$- 25 (- \frac{y^{2}}{25}) = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $- 25 (- \frac{y^{2}}{25})$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{2}}{25}$ in den Zähler.

$- 25 \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Schritt 3.1.1.1.2

Faktorisiere $25$ aus $- 25$ heraus.

$25 (- 1) \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Schritt 3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Schritt 3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Schritt 3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Schritt 3.1.1.2.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $- 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = - 25 \cdot 1 - 25 (- \frac{x^{2}}{144})$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 25$ mit $1$ .

$y^{2} = - 25 - 25 (- \frac{x^{2}}{144})$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $- 25 (- \frac{x^{2}}{144})$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 25$ .

$y^{2} = - 25 + 25 \frac{x^{2}}{144}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kombiniere $25$ und $\frac{x^{2}}{144}$ .

$y^{2} = - 25 + \frac{25 x^{2}}{144}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{25 x^{2}}{144}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{- 25 + \frac{25 x^{2}}{144}}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $25 x^{2}$ als ${(5 x)}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{{(5 x)}^{2}}{144}}$

Schritt 5.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{{(5 x)}^{2}}{12^{2}}}$

Schritt 5.3

Schreibe $\frac{{(5 x)}^{2}}{12^{2}}$ als ${(\frac{5 x}{12})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 25 + {(\frac{5 x}{12})}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 5^{2} + {(\frac{5 x}{12})}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Stelle $- 5^{2}$ und ${(\frac{5 x}{12})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5 x}{12})}^{2} - 5^{2}}$

Schritt 5.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{5 x}{12}$ und $b = 5$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{5 x}{12} + 5) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $5$ aus $\frac{5 x}{12} + 5$ heraus.

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Schritt 5.6.1.1

Faktorisiere $5$ aus $\frac{5 x}{12}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{(5 \frac{x}{12} + 5) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Schritt 5.6.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$y = \pm \sqrt{(5 \frac{x}{12} + 5 (1)) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Schritt 5.6.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 \frac{x}{12} + 5 (1)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $5$ aus $\frac{5 x}{12} - 5$ heraus.

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $\frac{5 x}{12}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 \frac{x}{12} - 5)}$

Schritt 5.6.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 \frac{x}{12} + 5 (- 1))}$

Schritt 5.6.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 \frac{x}{12} + 5 (- 1)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 (\frac{x}{12} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) \cdot 5 (\frac{x}{12} - 1)}$

Schritt 5.6.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \pm \sqrt{25 (\frac{x}{12} + 1) (\frac{x}{12} - 1)}$

Schritt 5.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{25 (\frac{x}{12} + \frac{12}{12}) (\frac{x}{12} - 1)}$

Schritt 5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} - 1)}$

Schritt 5.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} - 1 \cdot \frac{12}{12})}$

Schritt 5.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} + \frac{- 1 \cdot 12}{12})}$

Schritt 5.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} \frac{x - 1 \cdot 12}{12}}$

Schritt 5.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} \frac{x - 12}{12}}$

Schritt 5.13

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.13.1

Kombiniere $25$ und $\frac{x + 12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12)}{12} \cdot \frac{x - 12}{12}}$

Schritt 5.13.2

Mutltipliziere $\frac{25 (x + 12)}{12}$ mit $\frac{x - 12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{12 \cdot 12}}$

Schritt 5.13.3

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{144}}$

Schritt 5.14

Schreibe $\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{144}$ als ${(\frac{5}{12})}^{2} ((x + 12) (x - 12))$ um.

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Schritt 5.14.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25 (x + 12) (x - 12)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{144}}$

Schritt 5.14.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $12^{2}$ aus $144$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{12^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.14.3

Ordne den Bruch $\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{12^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{12})}^{2} ((x + 12) (x - 12))}$

Schritt 5.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{5}{12} \sqrt{(x + 12) (x - 12)}$

Schritt 5.16

Kombiniere $\frac{5}{12}$ und $\sqrt{(x + 12) (x - 12)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 12) (x - 12)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 12) (x - 12) \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 12 = 0$

$x - 12 = 0$

Schritt 8.2

Setze $x + 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Setze $x + 12$ gleich $0$ .

$x + 12 = 0$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 12$

Schritt 8.3

Setze $x - 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Setze $x - 12$ gleich $0$ .

$x - 12 = 0$

Schritt 8.3.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 12$

Schritt 8.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 12) (x - 12) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 12, 12$

Schritt 8.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 12$

$- 12 < x < 12$

$x > 12$

Schritt 8.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 14$

Schritt 8.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 14) + 12) ((- 14) - 12) \geq 0$

Schritt 8.6.1.3

Die linke Seite $52$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 12 < x < 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 12 < x < 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 12) ((0) - 12) \geq 0$

Schritt 8.6.2.3

Die linke Seite $- 144$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 14$

Schritt 8.6.3.2

Ersetze $x$ durch $14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((14) + 12) ((14) - 12) \geq 0$

Schritt 8.6.3.3

Die linke Seite $52$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 12$ Wahr

$- 12 < x < 12$ Falsch

$x > 12$ Wahr

$x < - 12$ Wahr

$- 12 < x < 12$ Falsch

$x > 12$ Wahr

Schritt 8.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 12$ oder $x \geq 12$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 12] \cup [12, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 12, x \geq 12}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 12] \cup [12, \infty), {x | x \leq - 12, x \geq 12}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 12