Elementarmathematik Beispiele

$\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{25} = 1$

Schritt 1

Addiere $\frac{x^{2}}{25}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{9} = 1 + \frac{x^{2}}{25}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 9 \cdot 1 + 9 \frac{x^{2}}{25}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$y^{2} = 9 + 9 \frac{x^{2}}{25}$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $9$ und $\frac{x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 9 + \frac{9 x^{2}}{25}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 + \frac{9 x^{2}}{25}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{9 + \frac{9 x^{2}}{25}}$ .

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Schritt 5.1

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \cdot \frac{25}{25} + \frac{9 x^{2}}{25}}$

Schritt 5.2

Kombiniere $9$ und $\frac{25}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 \cdot 25}{25} + \frac{9 x^{2}}{25}}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 \cdot 25 + 9 x^{2}}{25}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $9$ aus $9 \cdot 25 + 9 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $9$ aus $9 \cdot 25$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (25) + 9 x^{2}}{25}}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (25) + 9 (x^{2})}{25}}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (25) + 9 (x^{2})$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (25 + x^{2})}{25}}$

Schritt 5.5

Schreibe $\frac{9 (25 + x^{2})}{25}$ als ${(\frac{3}{5})}^{2} (5^{2} + x^{2})$ um.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9 (25 + x^{2})$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (5^{2} + x^{2})}{25}}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (5^{2} + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.5.3

Ordne den Bruch $\frac{3^{2} (5^{2} + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{5})}^{2} (5^{2} + x^{2})}$

Schritt 5.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{3}{5} \sqrt{5^{2} + x^{2}}$

Schritt 5.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{3}{5} \sqrt{25 + x^{2}}$

Schritt 5.8

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $\sqrt{25 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{25 + x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$25 + x^{2} \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq - 25$

Schritt 8.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq - 3, y \geq 3}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $(- \infty, - 3] \cup [3, \infty), {y | y \leq - 3, y \geq 3}$

Schritt 12