Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2}}{225} - \frac{y^{2}}{64} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{225}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 64$ .

$- 64 (- \frac{y^{2}}{64}) = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $- 64 (- \frac{y^{2}}{64})$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{2}}{64}$ in den Zähler.

$- 64 \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3.1.1.1.2

Faktorisiere $64$ aus $- 64$ heraus.

$64 (- 1) \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3.1.1.2.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $- 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = - 64 \cdot 1 - 64 (- \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$y^{2} = - 64 - 64 (- \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $- 64 (- \frac{x^{2}}{225})$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 64$ .

$y^{2} = - 64 + 64 \frac{x^{2}}{225}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kombiniere $64$ und $\frac{x^{2}}{225}$ .

$y^{2} = - 64 + \frac{64 x^{2}}{225}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{64 x^{2}}{225}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{- 64 + \frac{64 x^{2}}{225}}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $64 x^{2}$ als ${(8 x)}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{{(8 x)}^{2}}{225}}$

Schritt 5.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{{(8 x)}^{2}}{15^{2}}}$

Schritt 5.3

Schreibe $\frac{{(8 x)}^{2}}{15^{2}}$ als ${(\frac{8 x}{15})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 64 + {(\frac{8 x}{15})}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 8^{2} + {(\frac{8 x}{15})}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Stelle $- 8^{2}$ und ${(\frac{8 x}{15})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8 x}{15})}^{2} - 8^{2}}$

Schritt 5.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{8 x}{15}$ und $b = 8$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 x}{15} + 8) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $8$ aus $\frac{8 x}{15} + 8$ heraus.

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Schritt 5.6.1.1

Faktorisiere $8$ aus $\frac{8 x}{15}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{(8 \frac{x}{15} + 8) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Schritt 5.6.1.2

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$y = \pm \sqrt{(8 \frac{x}{15} + 8 (1)) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Schritt 5.6.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 \frac{x}{15} + 8 (1)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $8$ aus $\frac{8 x}{15} - 8$ heraus.

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $8$ aus $\frac{8 x}{15}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 \frac{x}{15} - 8)}$

Schritt 5.6.2.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 \frac{x}{15} + 8 (- 1))}$

Schritt 5.6.2.3

Faktorisiere $8$ aus $8 \frac{x}{15} + 8 (- 1)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 (\frac{x}{15} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) \cdot 8 (\frac{x}{15} - 1)}$

Schritt 5.6.3

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$y = \pm \sqrt{64 (\frac{x}{15} + 1) (\frac{x}{15} - 1)}$

Schritt 5.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{64 (\frac{x}{15} + \frac{15}{15}) (\frac{x}{15} - 1)}$

Schritt 5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} - 1)}$

Schritt 5.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}$

Schritt 5.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}$

Schritt 5.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} \frac{x - 1 \cdot 15}{15}}$

Schritt 5.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} \frac{x - 15}{15}}$

Schritt 5.13

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.13.1

Kombiniere $64$ und $\frac{x + 15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15)}{15} \cdot \frac{x - 15}{15}}$

Schritt 5.13.2

Mutltipliziere $\frac{64 (x + 15)}{15}$ mit $\frac{x - 15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{15 \cdot 15}}$

Schritt 5.13.3

Mutltipliziere $15$ mit $15$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{225}}$

Schritt 5.14

Schreibe $\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{225}$ als ${(\frac{8}{15})}^{2} ((x + 15) (x - 15))$ um.

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Schritt 5.14.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $8^{2}$ aus $64 (x + 15) (x - 15)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{225}}$

Schritt 5.14.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $15^{2}$ aus $225$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{15^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.14.3

Ordne den Bruch $\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{15^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8}{15})}^{2} ((x + 15) (x - 15))}$

Schritt 5.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{8}{15} \sqrt{(x + 15) (x - 15)}$

Schritt 5.16

Kombiniere $\frac{8}{15}$ und $\sqrt{(x + 15) (x - 15)}$ .

$y = \pm \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 15) (x - 15)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 15) (x - 15) \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 15 = 0$

$x - 15 = 0$

Schritt 8.2

Setze $x + 15$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Setze $x + 15$ gleich $0$ .

$x + 15 = 0$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 15$

Schritt 8.3

Setze $x - 15$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Setze $x - 15$ gleich $0$ .

$x - 15 = 0$

Schritt 8.3.2

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 15$

Schritt 8.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 15) (x - 15) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 15, 15$

Schritt 8.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

Schritt 8.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 15$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 15$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 18$

Schritt 8.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 18$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 18) + 15) ((- 18) - 15) \geq 0$

Schritt 8.6.1.3

Die linke Seite $99$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 15 < x < 15$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 15 < x < 15$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 15) ((0) - 15) \geq 0$

Schritt 8.6.2.3

Die linke Seite $- 225$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 15$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 15$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 18$

Schritt 8.6.3.2

Ersetze $x$ durch $18$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((18) + 15) ((18) - 15) \geq 0$

Schritt 8.6.3.3

Die linke Seite $99$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 15$ Wahr

$- 15 < x < 15$ Falsch

$x > 15$ Wahr

$x < - 15$ Wahr

$- 15 < x < 15$ Falsch

$x > 15$ Wahr

Schritt 8.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 15$ oder $x \geq 15$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 15] \cup [15, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 15, x \geq 15}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 15] \cup [15, \infty), {x | x \leq - 15, x \geq 15}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 12