Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 3 x^{2} - x > - 3$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} - 3 x^{2} - x = - 3$

Schritt 2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - x + 3 = 0$

Schritt 3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 3) - (x - 3) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x - 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1, 1$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - (- 4) > - 3$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 108$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - (0) > - 3$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $0$ ist größer als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - (2) > - 3$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 6$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{3} - 3 {(6)}^{2} - (6) > - 3$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $102$ ist größer als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < x < 1$ oder $x > 3$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 1, 1) \cup (3, \infty)$

Schritt 13