Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}} > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}}^{2} > 0^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ als ${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Vereinfache ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{1} > 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.3.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.3.4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 3$

$x = 2$

Schritt 2.3.5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 3, 2$

Schritt 2.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Schritt 2.4.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.4.2.4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 3$

$x = 2$

Schritt 2.4.2.5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 3, 2$

Schritt 2.4.2.6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.6.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 3}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.4.2.6.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 2.4.2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 2.4.2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 2.4.2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Schritt 2.4.2.8.1.3

Die linke Seite $0.375$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.4.2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.4.2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Schritt 2.4.2.8.2.3

Die linke Seite $- 1.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.4.2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.4.2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Schritt 2.4.2.8.3.3

Die linke Seite $3.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.4.2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 2.4.2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 3$ oder $x > 2$

Schritt 2.4.3

Setze den Nenner in $\frac{x + 3}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.4.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3] \cup (2, \infty)$

Schritt 2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2}} > 0$

Schritt 2.6.1.3

Die linke Seite $0.61237243$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{\frac{(0) + 3}{(0) - 2}} > 0$

Schritt 2.6.2.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{\frac{(4) + 3}{(4) - 2}} > 0$

Schritt 2.6.3.3

Die linke Seite $1.87082869$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 3$ oder $x > 2$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 3$

$x = 2$

Schritt 4.5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 3, 2$

Schritt 4.6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 3}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.6.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 4.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 4.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 4.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Schritt 4.8.1.3

Die linke Seite $0.375$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 4.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Schritt 4.8.2.3

Die linke Seite $- 1.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 4.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Schritt 4.8.3.3

Die linke Seite $3.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 4.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 3$ oder $x > 2$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{x + 3}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 6

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 3, x > 2}$

Schritt 8