Elementarmathematik Beispiele

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y + 8 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $8 x^{2} - 32 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 8$

$b = - 32$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 8}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 32$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 32$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (8)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 16}{8}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $8$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $- 16$ heraus.

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 8}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 32$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 8}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$e = 0 - \frac{1024}{32}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $1024$ durch $32$ .

$e = 0 - 1 \cdot 32$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$e = 0 - 32$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $32$ von $0$ .

$e = - 32$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ ein.

$8 {(x - 2)}^{2} - 32$

Schritt 1.3

Setze $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ für $8 x^{2} - 32 x$ ein in der Gleichung $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ .

$8 {(x - 2)}^{2} - 32 + 6 y^{2} + 24 y = - 8$

Schritt 1.4

Bringe $- 32$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $32$ auf beiden Seiten.

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 y^{2} + 24 y = - 8 + 32$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $6 y^{2} + 24 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 6$

$b = 24$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{24}{2 \cdot 6}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (6)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{12}{6}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $6$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{6 \cdot 2}{6}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 6}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 6}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$e = 0 - \frac{576}{24}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $576$ durch $24$ .

$e = 0 - 1 \cdot 24$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$e = 0 - 24$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $24$ von $0$ .

$e = - 24$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ ein.

$6 {(y + 2)}^{2} - 24$

Schritt 1.6

Setze $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ für $6 y^{2} + 24 y$ ein in der Gleichung $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} - 24 = - 8 + 32$

Schritt 1.7

Bringe $- 24$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $24$ auf beiden Seiten.

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = - 8 + 32 + 24$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 8 + 32 + 24$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 8$ und $32$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 24 + 24$

Schritt 1.8.2

Addiere $24$ und $24$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 48$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $48$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{8 {(x - 2)}^{2}}{48} + \frac{6 {(y + 2)}^{2}}{48} = \frac{48}{48}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{6} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{8} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{6}$

$k = - 2$

$h = 2$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(2, - 2)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{8 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{8 - 6^{1}}$

Schritt 5.3.4.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 6}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\sqrt{8 - 6}$

Schritt 5.3.5.2

Subtrahiere $6$ von $8$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

Schritt 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(2, - 2 - (2 \sqrt{2}))$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

Schritt 6.6

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(2, - 2 + \sqrt{2})$

Schritt 7.3

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(2, - 2 - (\sqrt{2}))$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$(2, - 2 - \sqrt{2})$

Schritt 7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 8.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{8 - 6^{1}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 6}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.7

Subtrahiere $6$ von $8$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(2, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

Exzentrizität: $\frac{1}{2}$

Schritt 10