Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{20} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{{(x + 6)}^{2}}{20}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1 - \frac{{(x + 6)}^{2}}{20}$

Schritt 2

Vereinfache $1 - \frac{{(x + 6)}^{2}}{20}$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20}{20} - \frac{{(x + 6)}^{2}}{20}$

Schritt 2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - {(x + 6)}^{2}}{20}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Schreibe ${(x + 6)}^{2}$ als $(x + 6) (x + 6)$ um.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - ((x + 6) (x + 6))}{20}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(x + 6) (x + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x (x + 6) + 6 (x + 6))}{20}$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6))}{20}$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)}{20}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)}{20}$

Schritt 2.2.3.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6)}{20}$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x^{2} + 6 x + 6 x + 36)}{20}$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x^{2} + 12 x + 36)}{20}$

Schritt 2.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - x^{2} - (12 x) - 1 \cdot 36}{20}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - x^{2} - 12 x - 1 \cdot 36}{20}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - x^{2} - 12 x - 36}{20}$

Schritt 2.2.6

Subtrahiere $36$ von $20$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- x^{2} - 12 x - 16}{20}$

Schritt 2.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- (x^{2}) - 12 x - 16}{20}$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 12 x$ heraus.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- (x^{2}) - (12 x) - 16}{20}$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (12 x)$ heraus.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- (x^{2} + 12 x) - 16}{20}$

Schritt 2.3.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- (x^{2} + 12 x) - 1 (16)}{20}$

Schritt 2.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 12 x) - 1 (16)$ heraus.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{20}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Schreibe $- (x^{2} + 12 x + 16)$ als $- 1 (x^{2} + 12 x + 16)$ um.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- 1 (x^{2} + 12 x + 16)}{20}$

Schritt 2.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = - \frac{x^{2} + 12 x + 16}{20}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $16$ .

$16 \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 16 (- \frac{x^{2} + 12 x + 16}{20})$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 16 (- \frac{x^{2} + 12 x + 16}{20})$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 4)}^{2} = 16 (- \frac{x^{2} + 12 x + 16}{20})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $16 (- \frac{x^{2} + 12 x + 16}{20})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2} + 12 x + 16}{20}$ in den Zähler.

${(y - 4)}^{2} = 16 \frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{20}$

Schritt 4.2.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

${(y - 4)}^{2} = 4 (4) \frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{20}$

Schritt 4.2.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

${(y - 4)}^{2} = 4 \cdot 4 \frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{4 \cdot 5}$

Schritt 4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 4)}^{2} = 4 \cdot 4 \frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{4 \cdot 5}$

Schritt 4.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

${(y - 4)}^{2} = 4 \frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{5}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{5}$ .

${(y - 4)}^{2} = \frac{4 (- (x^{2} + 12 x + 16))}{5}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

${(y - 4)}^{2} = \frac{- 4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}$

Schritt 4.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y - 4)}^{2} = - \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 4 = \pm \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 4 = \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}}$

Schritt 6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}} + 4$

Schritt 6.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 4 = - \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}}$

Schritt 6.4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}} + 4$

Schritt 6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}} + 4$

$y = - \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}} + 4$

$y = \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}} + 4$

$y = - \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}} + 4$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Teile jeden Term in $- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 8.1.2.2

Dividiere $\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}$ durch $1$ .

$\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \leq 0$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $5$ .

$\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Vereinfache $\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \cdot 5$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Schritt 8.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (x^{2} + 12 x + 16) \leq 0 \cdot 5$

Schritt 8.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 4 (12 x) + 4 \cdot 16 \leq 0 \cdot 5$

Schritt 8.3.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$4 x^{2} + 48 x + 4 \cdot 16 \leq 0 \cdot 5$

Schritt 8.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$4 x^{2} + 48 x + 64 \leq 0 \cdot 5$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $5$ .

$4 x^{2} + 48 x + 64 \leq 0$

Schritt 8.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.4.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$4 x^{2} + 48 x + 64 = 0$

Schritt 8.4.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 48 x + 64$ heraus.

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Schritt 8.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{2}) + 48 x + 64 = 0$

Schritt 8.4.2.2

Faktorisiere $4$ aus $48 x$ heraus.

$4 (x^{2}) + 4 (12 x) + 64 = 0$

Schritt 8.4.2.3

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$4 x^{2} + 4 (12 x) + 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 8.4.2.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (12 x)$ heraus.

$4 (x^{2} + 12 x) + 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 8.4.2.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} + 12 x) + 4 \cdot 16$ heraus.

$4 (x^{2} + 12 x + 16) = 0$

Schritt 8.4.3

Teile jeden Ausdruck in $4 (x^{2} + 12 x + 16) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x^{2} + 12 x + 16) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 8.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 8.4.3.2.1.2

Dividiere $x^{2} + 12 x + 16$ durch $1$ .

$x^{2} + 12 x + 16 = \frac{0}{4}$

Schritt 8.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{2} + 12 x + 16 = 0$

Schritt 8.4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.4.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 12$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.6

Vereinfache.

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Schritt 8.4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.6.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 8.4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.6.1.3

Subtrahiere $64$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.6.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 8.4.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8.4.6.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = - 6 \pm 2 \sqrt{5}$

Schritt 8.4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.7.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 8.4.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.7.1.3

Subtrahiere $64$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.7.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 8.4.7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8.4.7.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = - 6 \pm 2 \sqrt{5}$

Schritt 8.4.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 6 + 2 \sqrt{5}$

Schritt 8.4.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.4.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.8.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 8.4.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.8.1.3

Subtrahiere $64$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.8.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 8.4.8.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.8.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8.4.8.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = - 6 \pm 2 \sqrt{5}$

Schritt 8.4.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 6 - 2 \sqrt{5}$

Schritt 8.4.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 6 + 2 \sqrt{5}, - 6 - 2 \sqrt{5}$

Schritt 8.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6 - 2 \sqrt{5}$

$- 6 - 2 \sqrt{5} < x < - 6 + 2 \sqrt{5}$

$x > - 6 + 2 \sqrt{5}$

Schritt 8.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6 - 2 \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6 - 2 \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 13$

Schritt 8.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 13$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{4 ({(- 13)}^{2} + 12 (- 13) + 16)}{5} \geq 0$

Schritt 8.6.1.3

Die linke Seite $- 23.2$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 - 2 \sqrt{5} < x < - 6 + 2 \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 - 2 \sqrt{5} < x < - 6 + 2 \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 8.6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{4 ({(- 6)}^{2} + 12 (- 6) + 16)}{5} \geq 0$

Schritt 8.6.2.3

Die linke Seite $16$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 6 + 2 \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 6 + 2 \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.6.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{4 ({(0)}^{2} + 12 (0) + 16)}{5} \geq 0$

Schritt 8.6.3.3

Die linke Seite $- 12.8$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6 - 2 \sqrt{5}$ Falsch

$- 6 - 2 \sqrt{5} < x < - 6 + 2 \sqrt{5}$ Wahr

$x > - 6 + 2 \sqrt{5}$ Falsch

$x < - 6 - 2 \sqrt{5}$ Falsch

$- 6 - 2 \sqrt{5} < x < - 6 + 2 \sqrt{5}$ Wahr

$x > - 6 + 2 \sqrt{5}$ Falsch

Schritt 8.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 6 - 2 \sqrt{5} \leq x \leq - 6 + 2 \sqrt{5}$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 6 - 2 \sqrt{5}, - 6 + 2 \sqrt{5}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 6 - 2 \sqrt{5} \leq x \leq - 6 + 2 \sqrt{5}}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, 8]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | 0 \leq y \leq 8}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- 6 - 2 \sqrt{5}, - 6 + 2 \sqrt{5}], {x | - 6 - 2 \sqrt{5} \leq x \leq - 6 + 2 \sqrt{5}}$

Wertebereich: $[0, 8], {y | 0 \leq y \leq 8}$

Schritt 12