Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3}{x - 1} > \frac{4}{x + 1}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{4}{x + 1}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x + 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um $\frac{3}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{4}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} > 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{x - 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} > 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{4}{x + 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 1)$ um.

$\frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (x + 1) - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 3 \cdot 1 - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 x + 3 - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 3 - 4 x - 4 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 4 x + 4}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.5.5

Subtrahiere $4 x$ von $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 4}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.5.6

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{- x + 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.7

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (- 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 7)$ heraus.

$\frac{- (x - 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- (x - 7)$ als $- 1 (x - 7)$ um.

$\frac{- 1 (x - 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = 1$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 7, - 1, 1$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 9.2.2

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 9.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 9.2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{(- 4) - 1} > \frac{4}{(- 4) + 1}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 0.6$ ist größer als die rechte Seite $- 1.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{(0) - 1} > \frac{4}{(0) + 1}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist nicht größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{(4) - 1} > \frac{4}{(4) + 1}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0.8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{(10) - 1} > \frac{4}{(10) + 1}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $0.\overline{3}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.\overline{36}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1$ oder $1 < x < 7$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 1) \cup (1, 7)$

Schritt 14