Elementarmathematik Beispiele

$- 3 \sqrt{2} + 3 i \sqrt{2}$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 3 \sqrt{2}$ und $b = 3 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{2}$ an.

$| z | = \sqrt{3^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{9 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2 + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2 + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{18 + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Wende die Produktregel auf $- 3 \sqrt{2}$ an.

$| z | = \sqrt{18 + {(- 3)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{18 + 9 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{18 + 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2}$

Schritt 4.4.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{18 + 18}$

Schritt 4.5.2

Addiere $18$ und $18$ .

$| z | = \sqrt{36}$

Schritt 4.5.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{6^{2}}$

Schritt 4.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 6$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{3 \sqrt{2}}{- 3 \sqrt{2}})$

Schritt 6

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{3 \sqrt{2}}{- 3 \sqrt{2}}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 7

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{4}$ und $| z | = 6$ .

$6 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$