Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Schritt 2

Dividiere ${(y - 3)}^{2}$ durch $1$ .

${(y - 3)}^{2} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Schritt 3

Vereinfache $1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ .

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Schritt 3.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Schritt 3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4 - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(y - 3)}^{2} = \frac{2^{2} - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x - 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(2 + x - 2) (2 - (x - 2))}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(x + 0) (2 - (x - 2))}{4}$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - (x - 2))}{4}$

Schritt 3.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x - - 2)}{4}$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x + 2)}{4}$

Schritt 3.2.3.5

Addiere $2$ und $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- x + 4)}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) + 4)}{4}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{4}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x - 4))}{4}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.1

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- 1 (x - 4))}{4}$

Schritt 3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y - 3)}^{2} = - \frac{x (x - 4)}{4}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $- \frac{x (x - 4)}{4}$ als ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))$ um.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x (x - 4)$ heraus.

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{4}}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y - 3 = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (x (x - 4)))}$

Schritt 5.1.4

Stelle $- 1$ und ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Schritt 5.1.6

Füge Klammern hinzu.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (x (x - 4))}$

Schritt 5.1.7

Füge Klammern hinzu.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))}$

Schritt 5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y - 3 = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Schritt 5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y - 3 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Schritt 5.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{- x (x - 4)}$ .

$y - 3 = \pm \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 3 = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Schritt 6.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 3 = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Schritt 6.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Schritt 6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x (x - 4)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x (x - 4) \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 8.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 8.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 8.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 8.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (x - 4) \geq 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 8.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 8.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 8.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 ((- 2) - 4) \geq 0$

Schritt 8.6.1.3

Die linke Seite $- 12$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 8.6.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 ((2) - 4) \geq 0$

Schritt 8.6.2.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 8.6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 6 ((6) - 4) \geq 0$

Schritt 8.6.3.3

Die linke Seite $- 12$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 8.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq 4$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, 4]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | 0 \leq x \leq 4}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[2, 4]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | 2 \leq y \leq 4}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[0, 4], {x | 0 \leq x \leq 4}$

Wertebereich: $[2, 4], {y | 2 \leq y \leq 4}$

Schritt 12