Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ nicht definiert ist.

$x = - 5, x = - 1$

Schritt 2

Da $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 5$ von links und $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 5$ von rechts, dann ist $x = - 5$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 5$

Schritt 3

Da $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 1$ von links und $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 1$ von rechts, dann ist $x = - 1$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 1$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - 5, - 1$

Schritt 5

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 6

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 7

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 8

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x^{2} + 6 x + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $6$ ist.

$1, 5$

Schritt 8.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{(x + 1) (x + 5)}$

Schritt 8.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 5)$ aus.

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Schritt 8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x (x + 5) + 1 (x + 5)}$

Schritt 8.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (x + 5)}$

Schritt 8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5}$

Schritt 8.2.4

Stelle $x$ und $5$ um.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Schritt 8.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Schritt 8.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Schritt 8.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{1 + 1} + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Schritt 8.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Schritt 8.2.9

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + x + 1 \cdot 5}$

Schritt 8.2.10

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + x + 5}$

Schritt 8.2.11

Addiere $5 x$ und $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$

Schritt 8.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

Schritt 8.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

Schritt 8.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x$

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

Schritt 8.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

Schritt 8.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

						$2 x$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$

Schritt 8.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$

Schritt 8.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$2 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$5$

Schritt 8.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - 6 x - 5$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

Schritt 8.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$x$

$4$

Schritt 8.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$2 x - 1 + \frac{x + 4}{x^{2} + 6 x + 5}$

Schritt 8.14

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 2 x - 1$

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 5, - 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 2 x - 1$

Schritt 10